普林斯顿微积分读本–第1章:函数、图像和直线

函数是将一个对象 x 转化为另一个对象的规则, 比如 \(f(x)=x^2\) 就是一个函数

• x 被称为输入, 是来自称为 定义域 的集合；
  
• 返回的对象被称为输出, 函数的 实际输出值 构成了另一个集合: 值域 . 我们常用 y 表示函数的返回值，\(f(x)=x^2\) 又可以写作 \(y=x^2\)
  
• 一个函数必须给 每一个有效的输入指定唯一的输出 , 比如 \(\sqrt x\) ，x=4时，返回值可能为2也可能为-2，因此 \(\sqrt x\) 不是一个函数
  

• 例子1： \(f(x)=x^2\) 这个式子定义了函数 \(f\) ，它会将任何数变为自己的平方。
  
  • 该函数 \(f\) 并没有规定定义域，因此默认定义域为 \(\mathbb{R}\) (所有实数的合集)
    
  • 对于任意实数，\(f\) 将该实数变为变为其平方: \(f(2)=4\), \(f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\)
    
• 例子2： \(g(x)=x^2\) ， 定义域为非负数
  

函数 g 看上去和 函数 f 一样，但 实际上二者的定义域不同 ， \(f(-\frac{1}{2}) = 1/4\), 但 g(-1/2) 不存在。 g 和 f 有相同的规则，g 是限制 f 的定义域产生的。

一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出，这个输出构成了值域, 值域是函数的输出集合.

例子

• \(f(x)=x^2\) 其定义域是 \(\mathbb{R}\) ，值域是非负集合， \(f(\sqrt 2)=4\) 和 \(f(\sqrt -2)=4\)
  
• \(g(x)=x^2\) 其定义域为非负数集合，值域也为非负集合， \(f(\sqrt 2)=4\)
  
• g(x) 和 f(x) 的值域是相同的。
  

我们经常会遇到实数轴 R 的子集, 比如 {x : 2 ≤ x < 5} 这样的连通区间，我们通常 使用区间表示法 来表示这些范围：

• [a, b] 表示满足 a≤x≤b 成立的 x 的集合，比如 [2, 5] 就是所有满足 2≤x≤5 的x。x 的值可以取为a或者b, [a, b] 这样的区间被称为 闭区间
  
• (a, b) 则表示 满足 a<x<b 成立的 x 的集合，被称为 开区间
  
• [a, b) 表示 半开半闭区间
  

(a, ∞) 表示从a到正无穷大；(-∞, b) 表示从负无穷大到

利用图形求解函数的值域：函数 \(F(x)=x^2\) 其定义域为 \([-2, 1]\)，现在 F 的值域是什么？

1. 画出函数图像
   
2. 想象从图像的左边和右边很远的地方朝向 y 轴水平地射入两束光
   
3. 光会在 y 轴上有两个影子
   
4. 值域就是影子的并集
   

并非平面上所有图形都是函数图像，函数图像的 坐标为 \((x, f (x))\) 。函数的 每一个有效的输入指定唯一的输出 ，因此对于任意x， (x, f (x)) 只有一个点，这就有了 垂线检测 这种方法: 任意一条垂线和函数只有有1个交点

• 例子1：\(x^2+y^2=9\) 不是函数
  当 x 落在区间 (-3, 3) 上时. 对于这其中的任意 x 值, 垂线通过 (x, 0) 和圆相交两次，违反了 函数每一个有效的输入指定唯一的输出
  

  
  

• 例子2：上半圆方程 \(y=\sqrt{(9-x^2)}\) 和下半圆方程 \(y=-\sqrt{(9-x^2)}\) 可以通过垂线检测，是函数
  

• 例子3：下图也是一个函数，可以通过垂线检测
  

  
  

对于一个函数 y=f(x) ，输入 x 得到 y。那反过来已知 y，有没有一个函数可以根据 y 求出 x ？

这个函数必须满足以下条件：

1. y 必须在f(x)的值域中 ，否则就没有y满足f(x)=y
   
2. 但可能有很多 y 值满足 f(x)=y ，比如 \(f(x)=x^2\) ，当 \(y=x^2=64\) 时 x 可以为 -8 或 8。但函数  每一个有效的输入指定唯一的输出  ，因此我们需要限制 仅有一个 x 值满足 f(x)=y
   

输入 y , 根据某个函数发现一个且仅有一个输入 x 满足 f(x) = y。 这个新的函数称为 f 的反函数, 写作 \(f^{-1}\)

反函数 \(f^{-1}\) 的定义： 对于函数 f ，其值域中任意值 y ，都有 唯一 的 x 满足 f(x)=y 并且

1. \(f^{-1}\) 的定义域和 f 的值域相同
   
2. \(f^{-1}\) 的值域和 f 的定义域相同
   
3. \(f^{-1}(y)\) 的值就是满足 f(x)=y 的 x
   

如果 \(f(x) = y\), 那么反函数 \(f^{-1}(y)\) = x

求反函数时, 必须确定只有一个x值满足y=f(x) 即 (0, y) 的水平线和函数图像仅有一次相交, 交点为点 (x, y)。这样我们就有了 水平检测 这种方法。

本质还是对于反函数输入值y的输出值x唯一

水平线检验：

1. 如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次 => 函数有一个反函数
   
2. 如果即使只有一条水平线和图像相交多于一次 => 函数就没有反函数
   

下图以 f(x)=\(x^3\) 和 g(x)=\(x^2\) 为例, 函数f有反函数, 函数g没有反函数

求一个函数的反函数失败

• 失败原因: 对于相同 y 有多个 x 值
  
• 解决方法: 放弃所有其他值，只保留一个x。
  

这种方式称为 限制定义域

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限制后的函数能通过水平检验：以 \(g(x)=x^2, x∈ [0, +∞)\) 为例，限制后的图像为：

限制定义域后

1. 取定义域\([0, ∞)\)
   
2. \(y=x^2\)
   
3. \(x=\sqrt y\)
   
4. \(f^{-1}(x)=\sqrt x\) 定义域为 \([0, ∞)\)
   
5. 反函数图像如下，关于 \(y=x\) 对称
   

如果不限制定义域，\(y=x^2\) 关于 y=x 的图像如下，无法通过垂线检测，就不是反函数

一个函数可以和另一个函数结合起来，被称为函数复合

• 函数复合：\(g(x)=x^2\) 中的x可被替换为任何有意义对象, 比如\(g(x^2)=(x^2)^2=x^4\)
  
• 函数h与g的复合写作 \(h(g(x))\) ， 也可以写作 \(h\circ g\) , 左边为外部函数,即 h(g(x))
  
• 例子：
  
  • \(g(x) = x^2\) 中的 x 可以换为任何使函数有意义的值，比如 \(g(y) = y^2\) 和 \(g(x + 5) = (x + 5)^2\)
    
  • \(h(x) = 3^x\) 中 x 换为\(x^2+6\) , 整个函数变为\(h(x^2 + 6) = 3^{x^2 +6}\)
    

函数的复合并 不是把它们相乘. 例如 \(f(x) = x^2sin(x)\) ,这个函数并不存在函数先后关系和复合计算

\(g(x) = 2^x, h(x) = 5x^4, j(x) = 2x - 1\) , 求函数 f = g ○ h ○ j

\(f(x)=g(h(j(x)))=g(h(2x-1))=g(5(2x-1)^4)=2^{5(2x-1)^4}\)

将函数 \(f(x)=\frac{1}{tan(5log_2(x+3))}\) 分解为简单函数

1. 从函数式中找到 x, 首先需要加 3, 所以设 g(x) = x + 3
   
2. 然后要对所得值取以 2 为底的对数, 所以令 h(x) = log2(x)
   
3. 接着需乘 5, 则设 j(x) = 5x
   
4. 再接着要求正切值, 因此令 k(x) = tan(x)
   
5. 最后要取倒数, 于是令 m(x) = 1/x
   

将函数 f 和 \(g(x)=x-a\) (a 是常数) 进行复合，得到新函数 \(h(x)=f(x-a)\) , 此时 h(x)的图像相对于f(x)有什么变化 ?

\(y=h(x)\) 和函数 \(y=f(x)\) 的图像一样, 只不过 \(y=h(x)\) 的函数图像向右平移了 a 个单位. 如果 a 是负的, 那么就是向左平移.

• 例子：如何画 \(y = (x - 1)^2\) 的图像:
  \(y = (x - 1)^2\) 就像 \(y = x^2\) 的图像一样, 用 x-1 来代替 x. 将函数 \(y =x^2\) 的图像向右平移 1 个单位，如图：
  

  
  

• 类似地, \(y = (x + 2)^2\) 的图像是将 \(y = x^2\) 的图像向左平移 2 个单位, 可以把 (x + 2) 理解为 (x - (-2))
  

一些函数具有 对称性

• 比如 \(f(x)=x^2\), 随意取一个数x=3,那么f(3)=9, 而 f(-3)也等于9, 这类函数被称为 偶函数 。
  
• 而对于 \(f(x)=x^3\) 这类, 随意取一个数，f(-3)=-f(3) ，这类函数被称为 奇函数 。
  

• 偶函数: 对所有的 x, 有 \(f(-x) = f(x)\)
  
• 奇函数: 对所有的 x, 有 \(f(-x) = -f(x)\)
  

函数可能是奇的/偶的, 也可能非奇非偶.

• 大多数函数是非奇非偶的 .
  
• 只有一个函数是既奇又偶的, 它就是非常单调的对所有 x 都成立的 f(x) = 0(我们称之为零函数)
  

• 偶函数的图像关于 y 轴 具有镜面对称性
  

  
  

• 奇函数的图像关于原点有 180° 的点对称性, 图像在 x 坐标上方和 -x 坐标下方具有相同的高度
  

  
  

将每个 x 替换为 (-x) 并计算 \(f(-x)\)

1. 如果得出f(x), f 就是偶的. 即 \(f(-x) = f(x)\)
   
2. 如果得到 -f(x), f 就是奇的， 即 \(f(-x) = -f(x)\)
   
3. 如果得到既不是 f(x) 也不是 -f(x), 则 f 就非奇非偶(或之前的化简不充分)
   

判断 \(f(x) = log_5(2x^6 - 6x^2 + 3)\) 奇偶性

\(f(-x)=log_5(2(-x)^6-6(-x)^2+3)=log_5(2x^6-6x^2+3)\) 等于 f (x) 本身, 因此函数 f 是偶的

判断奇偶性 \(g(x)=\frac{2x^3+x}{3x^2+5}\)

\(g(-x)=\frac{2(-x)^3+(-x)}{3(-x)^2+5}=\frac{-2x^3-x}{3x^2+5}=-g(x)\), g是奇函数

判断奇偶性 \(h(x)=\frac{2x^3+x-1}{3x^2+5}\)

\(h(-x)=\frac{2(-x)^3+(-x)-1}{3(-x)^2+5}=\frac{-2x^3-x-1}{3x^2+5}=-\frac{2x^3+x+1}{3x^2+5}\) 函数 h 是非奇非偶的

证明：

1. 定义有两个奇函数 f 和 g，这两个函数的积为 h
   
2. \(h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=h(x)\)，得证
   

\(f(x)= mx + b\) 这类函数叫做线性函数。它的图像是直线, 直线的斜率是 m 。如下图

• m正数,线由左下向右上, m越大, 斜率越大, “上坡”越陡
  
• m为负数,图像由左上向右下, m的绝对值越大, “下坡”越陡
  
• m为0, 图像是一条水平的直线
  

仅需确认两个点, 就可以画出线性函数的图像(两点一直线)

• 第一点：y 轴的截距。 令 \(x=0\) , \(y=m×0+b=b\) 所以直线通过 (0,b)
  
• 另一个点：我们可以选择 x 轴的截距。令 y=0, mx+b=0, \(x=-\frac{b}{m}\) 直线通过 (-b/m, 0)
  

这种方法有2种例外：

1. b=0, 此时函数变为 \(y=mx\)。 为求得另一点, 可以把 x=1 代入, 可得 \(y=m\).
   所以直线 \(y=mx\) 通过 (0, 0) 和 (1, m) 这两点.
   例如, 直线 y = -2x 通过原点和 (1, -2)，图像:
   

   
   

2. m=0, 这时函数变为 y=b, 是一条通过 (0, b) 的水平直线
   

有理函数的概念: \(\frac{p(x)}{q(x)}\) 形式, p q为多项式, 它的图像根据p q变化而变化

• 有理函数例子1 最简单的有理函数：
  
  1. \(f(x)=p(x)\) 即分母为1, 多项式函数
     

  2. 或分子为1 \(f(x)=\frac{1}{x^n}\) (n为正整数)
     

     • \(f(x)=\frac{1}{x^n}\) (n为正整数)的图像：
       

     
     

指数函数的反函数就是对数函数，比如 \(y = 2^x\) 的 反函数是以 2 为底的对数函数 \(y = log_2(x)\) 以直线 \(y = x\) 为镜子, \(y = log_2(x)\) 如图：

对数函数\(f(x)=log_a{x}\)

1. 定义域 \([0, +∞)\) (负数和 0 不能求对数)
   
2. 值域：全体实数
   
3. y轴为渐进轴