普林斯顿微积分读本–第2章:三角学

公式: 弧度 = \(\frac{\pi}{180} *\) 角度

1. 将75度转为弧度制: (π/180)*75=5π/12
   
2. 5π/12 转换成角度: (180/π) × (5π/12) = 75°
   

1. 从x轴正方向开始旋转, 角度 \(\theta\) ，就是你要求的函数角度
   

• 如果你转动了 π/2, 你将正面向上并且你的足迹将是 y 轴的正半轴
  
• 如果你转动了角 π, 你将得到 x 轴的负半轴
  
• 如果你转动了角 3π/2, 你将得到 y 轴的负半轴
  
• 如果你转动了角 2π, 那么会回到了起始的那个位置, 即 x 轴的正半轴. 好像根本没转动过! 这就是为什么 0 ≡ 2π. 对于角度而言, 0 和 2π 是等价的
  

1. 旋转后线条向x轴做垂线
   

1. 在线上 任选某个点 并从该点画一条垂线至 x 轴
   
2. 我们需要三个值：
   
   • 该点的 x 坐标和 y 坐标。 x 和 y 可能会为负，x在负半轴上x值取负号, y在 x 轴以下取负号
     
   • 该点到原点的距离r. r 总是正的, 因为它是距离。
     通常我们会选择1作为r的值，这样得到的点 (x, y) 会落在^^单位圆^^上
     

根据勾股定理，\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)

现在可以定义出三角函数, x、y 和 r 分别解释为邻边、对边和斜边
\(sin(\theta)=\frac{y}{r}\)
\(cos(\theta)=\frac{x}{r}\)
\(tan(\theta)=\frac{y}{x}\)

1. 7/6π > π 因此直线落在第三象限
   
2. 选取该射线上的一点, 该点至原点的距离 \(r = 1\)
   
3. 从该点至 x 轴做了一条垂线
   
4. 计算出射线与x轴的夹角，即7π/6-π=π/6
   
5. \(sin (π/6) = 1/2\)
   
6. 但1/2不是最终答案，因为对边y是负数，r是正数，所以 \(sin(θ) =y/r\) 最终值：sin(7π/6)=-1/2
   

1. 如果角在 x 轴或 y 轴上 (即没在任何象限中), 那么画出三角函数的图像, 从图像中读取数值
   
2. 否则找出射线和 x 轴之间最小的角(参考角)
   
3. 计算出参考角三角函数的值
   
4. 根据astc判断符号
   

1. 根据图像， 参考角就是 2π 和 7π/4 的差 π/4.
   
2. cos(π/4)=\(1/\sqrt{2}\)
   
3. ASTC 图可知, 在第四象限中余弦为正
   

\(\cos(7\pi/4)=1/\sqrt{2}\)

从图像上看, 三角函数并不是在 2π 结束了, 它一直在旋转。
比如 5π/2 ，这个图像在旋转了两周以后到达了 π/2, 所以二者的三角函数值是一样的，以下弧度的三角函数的值都是相等的:
\(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2},\frac{13\pi}{2},\frac{17\pi}{2},\cdots\)

另一种情况，弧度为负，此时图像做了逆时针旋转.
比如 -3π/2. 此将 -3π/2 加上 2π，结果为π/2,下面为π/2相关的弧度：
\(\cdots,-\frac{15\pi}{2},-\frac{11\pi}{2},-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2},\frac{13\pi}{2},\frac{17\pi}{2},\cdots\)

我们可以用集合表示所有的弧度 \({\frac{\pi}{2} + 2\pi n}\) , n表示所有整数

1. (15/4)π - 2π = (7/4)π
   
2. cos(7π/4)= \(1/\sqrt{2}\)
   
3. sec(15π/4)=\(\sqrt{2}\)
   

1. \(sin(-5π/6) = sin(7π/6)=-1/2\)
   

\(\sin(x)=\cos\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\tan(x)=\cot\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\sec(x)=\csc\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)\)
\(\cos(x)=\sin\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\cot(x)=\tan\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr),\quad\csc(x)=\sec\Bigl(\frac{\pi}{2}-x\Bigr)\)